Question

15．已知向量|$\overrightarrow a$|=4，|$\overrightarrow b$|=3，$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$．
（1）求|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|；
（2）求向量$\overrightarrow a$在向量$\overrightarrow b$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出数量积$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，再计算模长|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|的值；
（2）根据向量$\overrightarrow a$在向量$\overrightarrow b$方向上投影的定义，计算即可．

解答 解：（1）向量|$\overrightarrow a$|=4，|$\overrightarrow b$|=3，$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$，
∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$-3${\overrightarrow{b}}^{2}$=61，
∴4×4²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3×3²=61，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-6；
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=4²+2×（-6）+3²=13，
∴|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=$\sqrt{13}$；
（2）向量$\overrightarrow a$在向量$\overrightarrow b$方向上的投影为：
|$\overrightarrow{a}$|cosθ=|$\overrightarrow{a}$|×$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-6}{3}$=-2．

点评 本题考查了平面向量的数量积、模长公式以及投影的定义与应用问题，是基础题．