Question

7．某商场周年庆，准备提供一笔资金，对消费满一定金额的顾客以参与活动的方式进行奖励，顾客从一个装有大小相同的2个红球和4个黄球的袋中按指定规则取出2个球，根据取到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：

取到的红球数	0	1	2
奖励（单位：元）	5	10	50

现有两种取球规则的方案：
方案一：一次性随机取出2个球；
方案二：依次有放回取出2个球．
（1）比较两种方案下，一次抽奖获得50元奖金概率的大小；
（2）为使得尽可能多的人参与活动，作为公司负责人，你会选择哪种方案？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）记在方案一下一次抽奖获得的奖金为随机变量ξ，在方案二下一次抽奖获得的奖金为随机变量η，方案二中，从6个球中任取一球，恰是红球的概率p=$\frac{1}{3}$，利用古典概型求出P（ξ=50），利用相互独立事件概率乘法公式求出P（η=50），由P（ξ=50）＜P（η=50），得到第二种方案一次抽奖获得50元奖金概率更大．
（2）求出选择方案一时的数学期望E（ξ）和选择方案二时的数学期望E（η），由E（ξ）＜E（η），作为公司负责人应选择方案一才能使尽可能多的人参与活动．

解答 解：（1）记在方案一下一次抽奖获得的奖金为随机变量ξ，
在方案二下一次抽奖获得的奖金为随机变量η，
方案二中，从6个球中任取一球，恰是红球的概率p=$\frac{1}{3}$，
则P（ξ=50）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（η=50）=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，
∵P（ξ=50）＜P（η=50），
∴第二种方案一次抽奖获得50元奖金概率更大．
（2）方案一：
P（ξ=5）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=10）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=50）=$\frac{1}{15}$，
E（ξ）=$\frac{2}{5}×5+\frac{8}{15}×10+\frac{1}{15}×50$=$\frac{32}{3}$，
方案二：
P（η=5）=（1-$\frac{1}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，
P（η=10）=${C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$，
P（η=50）=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，
E（η）=$\frac{4}{9}×5+\frac{4}{9}×10+\frac{1}{9}×50=\frac{110}{9}$，
E（ξ）＜E（η），作为公司负责人应选择方案一才能使尽可能多的人参与活动．

点评 本题考查概率、离散型随机变量的数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．