Question

3．在公差不为零的等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₆=b₃，
（1）求通项a_n和b_n；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列、等比数列通项公式列出方程组，求出公差和公比，由此能求出通项a_n和b_n．
（2）由a_nb_n=（3n-2）•4^n-1．利用错位相减法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和．

解答 解：（1）在公差不为零的等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，
∵a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₆=b₃，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+d=q}\\{1+5d={q}^{2}}\\{d≠0}\end{array}\right.$，解得d=3，q=4．
∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2．
${b}_{n}=1×{4}^{n-1}={4}^{n-1}$．
（2）a_nb_n=（3n-2）•4^n-1．
∴数列{a_n•b_n}的前n项和：
S_n=1×4⁰+4×4+7×4²+…+（3n-2）×4^n-1，①
4S_n=1×4+4×4²+7×4³+…+（3n-2）×4ⁿ，②
①-②，得：-3S_n=1+3（4+4²+4³+…+4^n-1）-（3n-2）×4ⁿ
=1+3×$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$-（3n-2）×4ⁿ
=-3-（3n-3）×4ⁿ，
${S}_{n}=（n+1）×{4}^{n}+1$．

点评 本题考查等差数列、等比数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列、数列的前n项和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．