在平面直角坐标系中.以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$.直线l与曲线C分别交于A.B两点．(1)写出曲线C的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），直线l与曲线C分别交于A、B两点．
（1）写出曲线C的平面直角坐标系方程和直线l的普通方程；
（2）若|PA||PB|-$\sqrt{2}$（|PA|+|PB|）=36，求实数a的值．

分析（1）曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），利用互化公式可得直角坐标方程．过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．
（2）把直线l的参数方程代入y²=2ax（a＞0）．可得：t²-（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$a）t+8a+32=0，根据|PA||PB|-$\sqrt{2}$（|PA|+|PB|）=36，可得|t₁•t₂|-$\sqrt{2}$|t₁+t₂|=36，利用根与系数的关系即可得出．

解答解：（1）曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），利用互化公式可得直角坐标方程：
y²=2ax（a＞0）．
过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：x-y-2=0．
（2）把直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入y²=2ax（a＞0）．
可得：t²-（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$a）t+8a+32=0，
∴t₁+t₂=8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$a，t₁•t₂=8a+32．
∵|PA||PB|-$\sqrt{2}$（|PA|+|PB|）=36，
∴|t₁•t₂|-$\sqrt{2}$|t₁+t₂|=36，
∴8a+32-$\sqrt{2}$（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$a）=36，
解得a=5．