Question

12．在等比数列{a_n}中，2a₃-a₁a₅=0，数列{b_n}的通项b_n=log₄（a_2n），S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$．n∈N^*．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}的前n项和为T_n，求满足不等式T_n＜3b_n（n∈N^*）成立的n的值．

Answer 1

分析 （1）通过数列{a_n}为等比数列即及2a₃-a₁a₅=0可知a₃=2，通过b₂=S₂-S₁=log₄（a₄）计算可知a₄=${4}^{{b}_{2}}$=4，进而可知数列{a_n}的公比q，计算即得结论；
（2）通过（1）可知T_n=2^n-1-$\frac{1}{2}$，问题转化为解不等式2^n-1-$\frac{1}{2}$＜3（n-1），计算即得结论．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为等比数列，
∴2a₃-a₁a₅=0，即2a₃-a₃a₃=0，
∴a₃=2或a₃=0（舍），
∵S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴b₂=S₂-S₁=1-0=1，
又∵b₂=log₄（a₄），
∴a₄=${4}^{{b}_{2}}$=4，
∴数列{a_n}的公比q=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴a_n=${a}_{3}•{q}^{n-3}$=2^n-2，
∴b_n=log₄（a_2n）=$lo{g}_{4}{2}^{2n-2}$=n-1；
（2）由（1）可知T_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2^n-1-$\frac{1}{2}$，
∴T_n＜3b_n（n∈N^*）成立即2^n-1-$\frac{1}{2}$＜3（n-1）成立，
∴2^n-1-3n＜-$\frac{5}{2}$，
∴n=2、3、4．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．