Question

1．已知圆的方程为x²+y²=$\frac{7}{4}$，设过点M（0，1）的直线分别与该圆交于点A、B，若|AM|=3|MB|，则直线AB的斜率为$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 联立直线与圆的方程可得x=$\frac{-2k±\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$，由|AM|=3|MB|可得：$\frac{-2k-\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$=-3×$\frac{-2k+\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$，或$\frac{-2k+\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$=-3×$\frac{-2k-\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$，解方程可得答案．

解答 解：设过点M（0，1）的直线方程为：y=kx+1，
代入圆的方程x²+y²=$\frac{7}{4}$整理得：（k²+1）x²+2kx-$\frac{3}{4}$=0，
解得：x=$\frac{-2k±\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$，
∵|AM|=3|MB|，
∴$\frac{-2k-\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$=-3×$\frac{-2k+\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$，或$\frac{-2k+\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$=-3×$\frac{-2k-\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$，
即$-2k-\sqrt{7{k}^{2}+3}$=-3×（$-2k+\sqrt{7{k}^{2}+3}$），或$-2k+\sqrt{7{k}^{2}+3}$=-3×（$-2k-\sqrt{7{k}^{2}+3}$），
即8k=2$\sqrt{7{k}^{2}+3}$，或8k=-2$\sqrt{7{k}^{2}+3}$，
解得：k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$±\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，难度中档．