Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx+cosx，$\sqrt{2}$cosx ），$\overrightarrow{b}$=（cosx-sin x，$\sqrt{2}$sinx），x∈[-$\frac{π}{8}$，0]．
（1）求|$\overrightarrow{a}$|的取值范围；
（2）求函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$|的值域．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、三角函数的单调性即可得出；
（2）利用数量积运算性质、和差公式、倍角公式，可得：$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-|\overrightarrow a|=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-\sqrt{\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2}$，令$t=|\overrightarrow a|=\sqrt{\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2}∈[\sqrt{2}，\sqrt{3}]$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）$|\overrightarrow a|=\sqrt{{{（sinx+cosx）}^2}+2{{cos}^2}x}=\sqrt{1+sin2x+cos2x+1}$=$\sqrt{\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2}$，
∵$x∈[-\frac{π}{8}，0]$，
∴$0≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{4}$，即$0≤sin（2x+\frac{π}{4}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$|\overrightarrow a|$的取值范围是$[\sqrt{2}，\sqrt{3}]$．
（2）$\overrightarrow a•\overrightarrow b={cos^2}x-{sin^2}x+2sinxcosx=sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-|\overrightarrow a|=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-\sqrt{\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2}$，
令$t=|\overrightarrow a|=\sqrt{\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2}∈[\sqrt{2}，\sqrt{3}]$，
∴f（x）=t²-2-t
=$（t-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{9}{4}$，其值域为$[-\sqrt{2}，1-\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性、和差公式、倍角公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．