Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cosC=-

6

4

．
（1）若c=

2

a，试比较a与b的大小；
（2）当b=2，sinB=

10

8

，D为AB的中点时，求CD的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，将c=

2

a代入根据cosC的值小于0，即可判断出a与b的大小；
（2）由cosC的值求出sinC的值，得到sinC=2sinB，利用正弦定理化简c=2b，根据b的值求出c的值，根据sinB的值求出cosB的值，利用余弦定理表示出cosC，将b与c的值代入求出a的值，再利用余弦定理即可求出CD的值．

解答： 解：（1）∵c=

2

a，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2-2a2

2ab

=

b2-a2

2ab

=-

6

4

＜0，即b²-a²=（b+a）（b-a）＜0，
∴b-a＜0，即a＞b；
（2）∵cosC=-

6

4

，sinB=

10

8

，
∴sinC=

1-cos2C

=

10

4

=2×

10

8

=2sinB，
∵b=2，
∴利用正弦定理化简得：c=2b=4，
∵sinB=

10

8

，
∴cosB=

1-sin2B

=

3 6

8

，
∵cosC=

a2+4-16

4a

=-

6

4

，
解得：a=

6

，
在△BCD中，BC=a=

6

，BD=

1

2

AB=

1

2

c=2，cosB=

3 6

8

，
利用余弦定理得：CD²=（

6

）²+2²-2×

6

×2×

3 6

8

=6+4-9=1，
解得：CD=1．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．