题目内容
已知f（x）=asin2x+bcos2x（a，b为常数），若对于任意x∈R都有f（x）≥f（
），则方程f（x）=0在区间[0，π]内的解为 ．
| 5π |
| 12 |
考点：三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的图像与性质
分析：由f（x）≥f（
），可知f（
）是函数f（x）的最小值，利用辅助角公式求出a，b的关系，然后利用三角函数的图象和性质进求解即可．
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
解答：
解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=
sin（2x+θ）其中tanθ=
，
由f（x）≥f（
），则f（
）是函数f（x）的最小值，
即f（
）=-
，
∴f（
）=asin?
+bcos?
=
a-
b=-
，
即a-
b=-2
，
平方得，a2-2
ab+3b2=4a2+4b2，
即3a2+2
ab+b2=0，
∴(
a+b)2=0，解得b=-
a，
∵tanθ=
=-
，不妨设θ=-
，
则f（x）=asin2x+bcos2x=
sin（2x-
），
由f（x）=
sin（2x-
）=0，
解得2x-
=kπ，
即x=
+
，k∈Z，
∵x∈[0，π]，
∴当k=0时，x=
，
当k=1时，x=
+
=
，
故x=
或=
．
故答案为：
或
．
| a2+b2 |
| b |
| a |
由f（x）≥f（
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
即f（
| 5π |
| 12 |
| a2+b2 |
∴f（
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| a2+b2 |
即a-
| 3 |
| a2+b2 |
平方得，a2-2
| 3 |
即3a2+2
| 3 |
∴(
| 3 |
| 3 |
∵tanθ=
| b |
| a |
| 3 |
| π |
| 3 |
则f（x）=asin2x+bcos2x=
| a2+b2 |
| π |
| 3 |
由f（x）=
| a2+b2 |
| π |
| 3 |
解得2x-
| π |
| 3 |
即x=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
∵x∈[0，π]，
∴当k=0时，x=
| π |
| 6 |
当k=1时，x=
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
故x=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
故答案为：
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的辅助角公式是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
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