Question

函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-1）=f（x+1），且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，函数g（x）=

sinπx(x＞0) - 1 x   (x＜0)

，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]上的零点个数为（　　）

• A、10
• B、9
• C、8
• D、7

Answer 1

考点：正弦函数的图象,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由f（x-1）=f（x+1），得足f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，由h（x）=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），分别作出函数f（x）与g（x）的图象，利用数形结合即可判断函数零点的个数．

解答： 解：∵f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
由h（x）=f（x）-g（x）=0，
得f（x）=g（x），
∵x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，函数g（x）=

sinπx(x＞0) - 1 x   (x＜0)

，
∴分别作出函数f（x）与g（x）的图象，
由图象可知两个函数在区间[-5，5]上的交点个数为9个，
即函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]上的零点个数为9个．
故选：B

点评：本题主要考查方程根的个数的判断，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想．