Question

20．已知函数f（x）=e^x-ln（x+a）（a∈R）有唯一的零点x₀，则（　　）

• A． -1＜x₀＜-$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$＜x₀＜-$\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{1}{4}$＜x₀＜0
• D． 0＜x₀＜$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用函数的零点以及方程的根的关系，通过函数的导数，二次导函数判断函数的单调性，利用函数的零点判定定理，推出结果即可．

解答 解：函数f（x）=e^x-ln（x+a）（a∈R），则x＞-a，
可得f′（x）=e^x-$\frac{1}{x+a}$，f′′（x）=e^x+$\frac{1}{（x+a）^{2}}$恒大于0，
f′（x）是增函数，令f′（x₀）=0，则${e}^{{x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}+a}$，有唯一解时，
a=$\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}-{x}_{0}$，代入f（x）可得：
f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}-ln（{x}_{0}+a）$=${e}^{{x}_{0}}-ln（\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}）$=${e}^{{x}_{0}}+{x}_{0}$，
由于f（x₀）是增函数，
f（-1）≈-0.63，f（$-\frac{1}{2}$）≈0.11
所以f（x₀）=0时，-1$＜{x}_{0}＜-\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的零点判定定理的应用，考查转化是形成以及计算能力．难度比较大．