Question

如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC，O为AB的中点，OF⊥EC．
（Ⅰ）求证：OE⊥FC；
（Ⅱ）若AB=2，AC=

3

，求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而OC⊥平面ABEF，进而OF⊥OE，由此能证明OE⊥FC．
（Ⅱ）取EF的中点D，以O为原点，OC，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-CE-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连结OC，∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABC，
故OC⊥平面ABEF，
∴OC⊥OF，又OF⊥EC，
∴OF⊥平面OEC，∴OF⊥OE，
又OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC．
（Ⅱ）解：取EF的中点D，
以O为原点，OC，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（0，1，0），C（

2

，0，0），E（0，1，1），F（0，-1，1），

CE

=(-

2

，-1，-1)，

EF

=(0，-2，0)，
设平面FCE的法向量

n

=（x，y，z），
则

EC • n =- 2 x-y-z=0 EF • n =-2y=0

，取x=1，得

n

=（1，0，

2

），
同理，可取平面BEC的一个法向量为

m

=(1，

2

，0)．
cos＜

n

，

m

＞=

1

3

，
∴二面角F-CE-B的余弦值为

1

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．