Question

设m是正整数，若（x2+

1

x2

）^m的展开式中的常数项与（x+

1

x2

）^m的展开式的x^-3项的系数相等，则m的值为（　　）

• A、4
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：先求得（x2+

1

x2

）^m的展开式中的常数项为

C

m 2 m

，（x+

1

x2

）^m的展开式的x^-3项的系数为

C

m+3 3 m

，再根据

C

m 2 m

和

C

m+3 3 m

相等，求得m的值．

解答： 解：∵（x2+

1

x2

）^m的展开式中的通项公式为T_r+1=

C

r m

•x^2m-4r，令2m-4r=0，
求得m=2r，故它的常数项为

C

m 2 m

．
（x+

1

x2

）^m的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r′ m

•x^m-3r′，令m-3r′=-3，
解得r′=

m+3

3

，∴x^-3项的系数为

C

m+3 3 m

．
由

C

m 2 m

=

C

m+3 3 m

，可得

m

2

=

m+3

3

 ①，或 

m

2

+

m+3

3

=m②．
解①求得m=6，解②求得m=

6

7

（舍去），
综上可得，m=6，
故选：B．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．