Question

（文）在平面xoy内，不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U，不等式组

x-2y≥0 x+3y≥0

确定的平面区域为V．
（1）定义横、纵坐标均为非负整数的点为“非负整点”．在区域U中任取2个“非负整点”，求这些“非负整点”中恰好有1个“非负整点”落在区域V中的概率；
（2）在区域U中任取一个点，求这个点恰好在区域V内的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）列举法，求出在平面区域V内的非负整点，从（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（2，0），（1，1）中取出2个点的不同情况共有15种，其中恰好有一个在平面区域V内的情况有9种，即可求出概率；
（2）求出扇形区域中心角，可得平面区域V与平面区域U相交部分的面积，求出平面区域U的面积，即可求出结论．

解答： 解：（1）依题可知平面区域U的非负整点为：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（2，0），（1，1）共有6个，上述非负整点在平面区域V内的为：（0，0），（1，0），（2，0）共有3个，
从（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（2，0），（1，1）中取出2个点的不同情况共有15种，其中恰好有一个在平面区域V内的情况有9种，
∴P1=

9

15

=

3

5

．
（2）依题可得，平面区域U的面积为4π，设扇形区域中心角为α，则tanα=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1得α=

π

4

，
平面区域V与平面区域U相交部分的面积为

1

8

×4π=

π

2

．
在区域U任取1个点，则该点在区域V内的概率为P2=

π 2

4π

=

1

8

．

点评：本题考查概率的计算，考查列举法求基本事件，考查几何概型，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．