Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在区间[-1，1]上求y=f（x）的值域；
（Ⅲ）在区间[a，a+1]上求y=f（x）的值域．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数解析式的求解及常用方法,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用待定系数法即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据二次函数的性质即可在区间[-1，1]上求y=f（x）的值域；
（Ⅲ）分别讨论对称轴和区间区间[a，a+1]的关系，即可求y=f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=0，∴c=0，则f（x）=ax²+bx，
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，
即（2a+b）x+a+b=2x，
则

2a+b=2 a+b=0

，解得a=2，b=-2，
即f（x）=2x²-2x．
（Ⅱ）∵f（x）=2x²-2x=2（x-

1

2

）²-

1

2

，
则对称轴为x=

1

2

，
∵x∈[-1，1]，
∴当x=1或x=-1时，函数取得最大值f（1）=0，
当x=

1

2

时，函数y=f（x）取得最小值-

1

2

，
故函数的值域为[-

1

2

，0]；
（Ⅲ）（Ⅱ）∵f（x）=2x²-2x=2（x-

1

2

）²-

1

2

，
则对称轴为x=

1

2

，
则区间[a，a+1]的中点为x=a+

1

2

，
①若a+1≤

1

2

，即a≤-

1

2

，此时函数f（x）在[a，a+1]上为减函数，则最大值为f（a）=2a²-2a，最小值f（a+1）=2a²+2a+2，值域为[2a²-2a，2a²+2a+2]，
②若a＜a+

1

2

≤

1

2

，即a≤0，此时最大值为f（a）=2a²-2a，最小值f（

1

2

）=

1

2

，值域为[2a²-2a，-

1

2

]，
③

1

2

≤a+

1

2

≤a+1，即a≥0，此时最小值为f（

1

2

）=-

1

2

，最大值f（a+1）=2a²+2a+2，值域为[-

1

2

，2a²+2a+2]，
④若a＞

1

2

，此时函数f（x）在[a，a+1]上为增函数，则最小值为f（a）=2a²-2a，最大值f（a+1）=2a²+2a+2，值域为[2a²+2a+2，2a²-2a]．

点评：本题主要考查二次函数的解析式以及二次函数在闭区间上的值域，利用待定系数法以及分类讨论的思想是解决本题的关键．