Question

已知函数f（n）=cos

nπ

5

（n∈N^*），则

f(1)+f(2)+…+f(2008)

f(10)+f(21)+f(32)+f(43)

=（　　）

• A、1
• B、0
• C、-1
• D、4

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：取n=1，2，3，…，10，求值后得到每10项的和为0，求出分子，然后求出相应分母的值，作比后得答案．

解答： 解：∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）
=（cos

π

5

+cos

2π

5

）+（cos

3π

5

+cos

4π

5

）+cosπ
=-（cos

3π

5

+cos

4π

5

）+（cos

3π

5

+cos

4π

5

）-1=-1，
f（6）+f（7）+f（8）+f（9）+f（10）
=（cos

6π

5

+cos

7π

5

）+（cos

8π

5

+cos

9π

5

）+cos2π
=-（cos

π

5

+cos

2π

5

）+（cos

2π

5

+cos

π

5

）+1=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+f（9）+f（10）=0
∴[f（1）+f（2）+f（3）+…f（2008）]
=

2010

10

×0-cos

2009π

5

-cos

2010π

5

=-cos（-

π

5

+402π）-1=-cos

π

5

-1=-f（1）-1．
[f（10）+f（21）+f（32）+f（43）]=1+f（1）+f（2）+f（3）
=1+f（1）+cos

2π

5

+cos

3π

5

=1+f（1）．
∴

f(1)+f(2)+…+f(2008)

f(10)+f(21)+f(32)+f(43)

=

-f(1)-1

1+f(1)

=-1．
故选：C．

点评：本题考查了运用诱导公式求值，解答的关键是寻找规律，属中档题．