Question

过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左焦点F且垂直于双曲线一渐近线的直线与双曲线的右支交于点P，O为原点，若|OF|=|OP|，则C的离心率为（　　）

• A、

  5

• B、2
• C、

  3

• D、3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线的一条渐近线为l：y=-

b

a

x，设P（x₀，y₀），过F作垂直l的直线FP，以及|OF|=|OP|，得到x₀，y₀的值，再由点P为双曲线的右支上的点，即可算出该双曲线的离心率．

解答： 解：设双曲线的一条渐近线为l：y=-

b

a

x，设P（x₀，y₀），
过F（-c，0）作垂直l的直线FP，如图所示，
则FP的直线方程为：y-0=

a

b

[x-（-c）]，
故y₀=

a

b

（x₀+c） ①，
由于|OF|=|OP|，则FP的中点在直线l：y=-

b

a

x上，
则

y0

2

=-

b

a

•

x0-c

2

②，
联立①②解得x₀=

b2-a2

c

，y₀=

2ab

c

，
又由

x02

a2

-

y02

b2

=1，则

( b2-a2 c )2

a2

-

( 2ab c )2

b2

=1
整理得到c²-5a²=0，
由此可得双曲线的离心率为e=

c

a

=

5

，
故选：A

点评：本题着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．