Question

求证：

1-x1

+

1-x2

+…

1-xn

≥

n-1

（

x1

+

x2

+…+

xn

），

n

i=1

x_n=1．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：验证n=1，显然成立；当n＞1时，先证一个不等式：

x1+x2+…+xn n

≥

x1 + x2 +…+ xn

n

，
设

m

=（

x1

，

x2

，…，

xn

），

n

=（1，1，…，1），由|

m

•

n

|≤|

m

|•|

n

|，即可得到，即有

x1+x2+…+xn

≥

x1 + x2 +…+ xn

n

．由于x₁+x₂+…+x_n=1，要证原不等式成立，即证，

x2+x3+…+xn

+

x1+x3+..+xn

+…+

x1+x2+…+xn-1

≥

n-1

（

x1

+

x2

+…+

xn

）．
运用上面的结论，累加即可得证．

解答： 证明：当n=1时，不等式左边=

1-x1

=0，右边=0，显然成立；
当n＞1时，先证一个不等式：

x1+x2+…+xn n

≥

x1 + x2 +…+ xn

n

，
设

m

=（

x1

，

x2

，…，

xn

），

n

=（1，1，…，1），
则由于|

m

•

n

|≤|

m

|•|

n

|，
即有|

x1

+

x2

+…+

xn

|≤

x1+x2+…+xn

•

n

，
两边除以n，得，

x1+x2+…+xn n

≥

x1 + x2 +…+ xn

n

．
即有

x1+x2+…+xn

≥

x1 + x2 +…+ xn

n

．
由于x₁+x₂+…+x_n=1，
要证原不等式成立，即证，

x2+x3+…+xn

+

x1+x3+..+xn

+…+

x1+x2+…+xn-1

≥

n-1

（

x1

+

x2

+…+

xn

）．
由于

x2+x3+…+xn

≥

x2 + x3 +…+ xn

n-1

，

x1+x3+..+xn

≥

x1 + x3 +…+ xn

n-1

，
…

x1+x2+…+xn-1

≥

x1 + x2 +…+ xn-1

n-1

．
将上式累加，可得，

x2+x3+…+xn

+

x1+x3+..+xn

+…+

x1+x2+…+xn-1

≥

(n-1) x1 +(n-1) x2 +…+(n-1) xn

n-1

=

n-1

（

x1

+

x2

+…+

xn

）．
故原不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查向量法证明不等式的方法，考查推理能力，以及累加法，属于难题．