Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），f（x）在x=1处取得极值，且f（x）的导函数是偶函数．
（1）若对于任意的x₁，x₂∈[-2，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值；
（2）若过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：本题（1）可以求出f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值，再利用|f（x₁）-f（x₂）|≤c，得到本题结论；（2）从切点出发，利用函数式求出切点坐标，利用导函数求出切线的斜率，用点斜式得到切线方程，将点M（2，m）代入方程，得到相应关系式，转化得方程有三个根，即相应函数与x轴有三个不同公共点，利用导函数研究函数图象特征，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx-3=0，
由f′（x）是偶函数得b=0．
又f′（1）=0，
∴a=1．
∴f（x）=x³-3x．
令f′（x）=3x²-3=0，
解得x=±1．

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2		极大值		极小值		2

∵f（-1）=2，f（1）=-2，
∴当x∈[-2，2]时，[f（x）]_max=2，[f（x）]_min=-2．
则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有
|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min=4，
∴c≥4．
∴c的最小值为4．
（2）∵点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，
∴设切点为（x₀，y₀）．
则y0=x03-3x0．
∵f′(x0)=3x02-3，
∴切线的斜率为3x02-3．
则3x02-3=

x03-3x0-m

x0-2

，
即2x03-6x02+6+m=0．
因为过点点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
所以方程即2x03-6x02+6+m=0有三个不同的实数解．
即函数g（x）=2x³-6x²+6+m有三个不同的零点．
则g′（x）=6x²-12x．
令g′（x）=0，解得 x=0或x=2．

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）		极大值		极小值

∴

g(0)＞0 g(2)＜0

 即

6+m＞0 -2+m＜0

，
解得-6＜m＜2．

点评：本题考查了导数与单调性、最值的关系，本题思维难度大，计算量大，属于难题．