Question

已知关于x的方程2x²-（

3

+1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，求：
（1）

sin2θ

sinθ-cosθ

+

cosθ

1-tanθ

的值；
（2）实数m的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用韦达定理表示出sinθ+cosθ与sinθcosθ，已知等式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分后将sinθ+cosθ的值代入得到结果．
（2）根据（1）的结果，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出m的值．

解答： （1）∵x的方程2x²-（

3

+1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，
∴sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθcosθ=

m

2

∴

sin2θ

sinθ-cosθ

+

cosθ

1-tanθ

=

sin2θ

sinθ-cosθ

+

cos2θ

cosθ-sinθ

=

(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)

sinθ-cosθ

=sinθ+cosθ=

3 +1

2

．
（2）∵（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
∴

4+2 3

4

=1+m，
则m=

3

2

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及三角函数的化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的考查．