Question

3．已知向量$\overrightarrow a=（{1，2}），\overrightarrow b=（{2，-3}）$，向量$\overrightarrow c$满足$（{\overrightarrow c+\overrightarrow a}）∥\overrightarrow b，\overrightarrow c⊥（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$，则$\overrightarrow c$用基底$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的线性表示为$\frac{1}{9}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$．

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=0$⇒$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，（$λ\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）$•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）=0，⇒λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$λ\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0⇒λ=$\frac{1}{9}$，即可得$\overrightarrow{c}$=$\frac{1}{9}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$．

解答 解：∵向量$\overrightarrow c$满足$（{\overrightarrow c+\overrightarrow a}）∥\overrightarrow b，\overrightarrow c⊥（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$，则$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=0$
⇒$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，（$λ\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）$•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）=0，
⇒λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$λ\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
⇒-4λ+13λ-5+4=0，
⇒λ=$\frac{1}{9}$．
∴$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{9}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，
故答案为：$\frac{1}{9}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$．

点评 本题考查了向量的数量积计算、共线得应用，属于中档题．