Question

4．设点M，N为圆x²+y²=9上两个动点，且|MN|=4$\sqrt{2}$，若点P为线段3x+4y+15=0（xy≥0）上一点，则|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的值，把|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|转化为|$2\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$|，数形结合得答案．

解答 解：由已知得|$\overrightarrow{OM}$|=|$\overrightarrow{ON}$|=3，
则$|\overrightarrow{MN}{|}^{2}=|\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}{|}^{2}=|\overrightarrow{ON}{|}^{2}+|\overrightarrow{OM}{|}^{2}$$-2\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=32$，
得$2\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-14$．
|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|=|$\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{ON}$|=|$2\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$|，
而$|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}|=\sqrt{|\overrightarrow{OM}{|}^{2}+|\overrightarrow{ON}{|}^{2}+2\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}}$=$\sqrt{9+9-14}=2$．
如图：
由图可知，当p在点（5，0）处，且向量$2\overrightarrow{PO}$与向量（$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$）同向共线时，|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|有最大值为12．
故选：D．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．