题目内容

14．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为$\frac{3}{4}$，购买B种商品的槪率为$\frac{2}{3}$，购买C种商品的概率为$\frac{1}{2}$．假设该网民是否购买这三种商品相互独立
（1）求该网民至少购买2种商品的概率；
（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的槪率分布和数学期望．

分析 （1）记“记网民购买i种商品”为事件Ai，i=2，3，分别求出P（A3）和P（A2），由此能求出该网民至少购买2种商品的概率．
（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量η的分布列和Eη．

解答 解：（1）记“记网民购买i种商品”为事件Ai，i=2，3，
则P（A3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
P（A2）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）+\frac{3}{4}×（1-\frac{2}{3}）×\frac{1}{2}$+$（1-\frac{3}{4}）×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{11}{24}$，
∴该网民至少购买2种商品的概率：
p=p（A1）+P（A2）=$\frac{1}{4}+\frac{11}{24}$=$\frac{17}{24}$．
（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，
P（η=0）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{24}$，
P（η=2）=P（A2）=$\frac{11}{24}$，
P（η=3）=P（A3）=$\frac{1}{4}$，
∴P（η=1）=1-$\frac{1}{24}-\frac{11}{24}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴随机变量η的分布列为：

 η 0 1 2 3
 P $\frac{1}{24}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{11}{24}$ $\frac{1}{4}$
Eη=$0×\frac{1}{24}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{11}{24}+3×\frac{1}{4}$=$\frac{23}{12}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，互斥事件概率加法公式的合理运用．

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