Question

18．下列关于四边形ABCD判断正确的是（　　）
①若$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，则四边形ABCD是平行四边形；
②若$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，则四边形ABCD是梯形；
③若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}，且|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|$，则四边形ABCD是菱形；
④若$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|$，则四边形ABCD是矩形．

• A． ②③④
• B． ①②③
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据向量在几何中的应用问题，结合题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．

解答 解：对于①，若$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，则|$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{BC}$|且$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{BC}$，四边形ABCD是平行四边形，①正确；
对于②，若$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，|$\overrightarrow{AD}$|≠|$\overrightarrow{BC}$且$\overrightarrow{AD}$∥||$\overrightarrow{BC}$，四边形ABCD是梯形，②正确；
对于③，由$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$得出四边形ABCD是平行四边形，
由|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|，得出平行四边形ABCD是菱形，③正确；
对于④，由$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|$，得${（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）}^{2}$=${（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）}^{2}$，
即${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=0即AB⊥AD，如图所示

又四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴四边形ABCD不一定是矩形，④错误．
综上，正确命题的序号为①②③．
故选：B．

点评 本题主要考查了向量在几何中的应用以及数量积为0与两向量垂直的关系，也考查了分析问题的能力，是综合性题目．