Question

10．已知二次函数f（x）=ax²+（a-1）x+a．
（1）试讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数$g（x）=f（x）+\frac{{1-（{a-1}）{x^2}}}{x}$在（2，3）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性的定义即可讨论得到结论，
（2）先化简g（x），再根据导数和函数单调性的关系，求导分离参数，求出函数的最值，问题得以解决．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+（a-1）x+a，
∴f（-x）=ax²-（a-1）x+a，
若f（-x）=f（x），即ax²-（a-1）x+a=ax²+（a-1）x+a，
解得a=1，此时函数为偶函数，
若f（-x）=-f（x），即ax²-（a-1）x+a=-ax²-（a-1）x-a，
解得a=0，此时函数为奇函数，
当a≠1且a≠0时，函数为非奇非偶函数，
（2）∵$g（x）=f（x）+\frac{{1-（{a-1}）{x^2}}}{x}$=ax²+（a-1）x+a+$\frac{1}{x}$-（a-1）x=ax²+a+$\frac{1}{x}$，
∴g′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$＞0，在（2，3）上恒成立，
∴2a＞$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴y=$\frac{1}{{x}^{2}}$在（2，3）上为减函数，
∴y＞$\frac{1}{4}$，
∴2a≥$\frac{1}{4}$，
∴a≥$\frac{1}{8}$，
故a的取值范围为[$\frac{1}{8}$，+∞）．

点评 本题主要考查了函数的单调性、奇偶性，利用了分类讨论的思想以及导数和函数的单调性的关系，属于中档题．