Question

12．不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}$≥m对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m≤2
• B． m＜2
• C． m≤3
• D． m＜3

Answer 1

分析 由配方法化简x²+x+1，将分式不等式等价转化为3x²+2x+2≥m（x²+x+1），化简后由恒成立问题和二次函数的性质列出不等式组，求出实数m的取值范围．

解答 解：∵x²+x+1=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}＞0$恒成立，
∴不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}$≥m等价于3x²+2x+2≥m（x²+x+1），
即（3-m）x²+（2-m）x+2-m≥0对任意实数x都成立，
①当3-m=0，即m=3时，不等式为-x-1≥0，对任意实数x恒不成立；
②当3-m≠0，即m≠3时，
有$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{（2-m）^{2}-4×（3-m）×（2-m）≤0}\end{array}\right.$，解得m≤2，
综上可得，实数m的取值范围是（-∞，2]，
故选：A．

点评 本题考查了分式不等式的等价转化与解法，一元二次不等式的解法，以及一元二次函数的性质，考查分类讨论思想、转化思想，化简、变形能力．