Question

4．若函数f（x）满足$f（x）+1=\frac{1}{f（x+1）}$，当x∈[0，1]时，f（x）=x．若在区间（-1，1]内，g（x）=f（x）-mx-2m有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． 0＜m＜$\frac{1}{3}$
• B． 0＜m≤$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$＜m＜1
• D． $\frac{1}{3}$＜m≤1

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-mx-2m=0，即有f（x）=mx+2m，在同一坐标系内画出y=f（x），y=mx+2m的图象，转化为图象有两个不同的交点的条件．

解答 解：当x∈（-1，0]时，x+1∈（0，1]，
则$f（x）=\frac{1}{f（x+1）}-1=\frac{1}{x+1}-1$=$\frac{-x}{x+1}$=$\frac{-（x+1）+1}{x+1}$=-1+$\frac{1}{x+1}$，
由g（x）=f（x）-mx-2m=0得f（x）=mx+2m=m（x+2），
在同一坐标系内画出y=f（x），y=m（x+2）的图象．

动直线y=mx+2m过定点A（-2，0），当直线过B（1，1）时，斜率m=$\frac{1}{3}$，此时两个函数有两个交点，
由图象可知当0＜m≤$\frac{1}{3}$时，两图象有两个不同的交点，从而g（x）=f（x）-mx-2m有两个不同的零点，
故选：B．

点评 本题主要考查函数根的个数的判断和应用，根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．，本题先由已知条件转化为判断两函数图象交点个数，再利用函数图象解决．