Question

2．如图所示，PA为半径等于2的圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，$PA=\sqrt{5}$，∠BAC的角平分线与BC交于点D．
（1）求证AB•PC=PA•AC；（2）求$\frac{CD}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接AO，运用切线的性质和弦切角定理，相似三角形的判定和性质可得，AB•PC=PA•AC；
（2）运用勾股定理，求得PO，PC，由内角平分线定理可得$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，结合（1）的结论，即可得到所求值．

解答 解：（1）证明：连接AO，PA为圆O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，
则△PAB∽△PCA，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$，
即AB•PC=PA•AC；
（2）$PA=\sqrt{5}$，圆的半径为2，
在Rt△PAO中，由PA²+AO²=PO²得PO=$\sqrt{5+4}$=3，
PC=PO+OC=5，
因为AD是∠BAC的角平分线，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，
由（I）得$\frac{AC}{AB}=\frac{PC}{PA}$，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{PC}{PA}=\frac{5}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$．

点评 本题考查圆的切线的性质和弦切角定理、勾股定理、角平分线定理的运用，考查相似三角形的判定和性质，考查推理和运算能力，属于中档题．