Question

4．已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1，当x∈[2，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是[-$\frac{5}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 问题等价于x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥-3a．令g（x）=x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：x∈[2，∞），f（x）≥0，
即x³+3ax²+3x+1≥0，
即x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥-3a．
令g（x）=x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
则g'（x）=$\frac{{x}^{3}-3x-2}{{x}^{3}}$，
下面我们证g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，
也即x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
令h（x）=x³-3x-2，则h'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴h（x）在x∈[2，∞）上为增函数，
∴h（x）≥h（2）=0，也就是x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）为增函数，
∴g（x）的最小值为g（2）=$\frac{15}{4}$，
-3a≤g（2）=$\frac{15}{4}$，
解得a≥-$\frac{5}{4}$，
故答案为：[-$\frac{5}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．