Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
（1）若当x≤-1时，不等式f（x）+5a＜0恒成立，求a的取值范围；
（2）当x∈[0，2]时，f（x）的值域是[-6，-

3

2

]，求实数a．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数在闭区间上的最值,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由f（x）＞-2x的解集为（1，3），得f（x）+2x=a（x-1）（x-3），从而求得函数f（x）的解析式，代入f（x）+5a＜0，利用“三个二次”的结合列不等式组求解a的取值范围；
（2）求出二次函数f（x）的对称轴，对对称轴分类求解当x∈[0，2]时，f（x）的值域是[-6，-

3

2

]的实数a的值．

解答： 解：（1）∵f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
∴f（x）+2x=a（x-1）（x-3），
∴a＜0，
f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a，
∴不等式f（x）+5a＜0即为ax²-（2+4a）x+8a＜0，
要使ax²-（2+4a）x+8a＜0在x≤-1时恒成立，
则

a＜0 2+4a 2a ＞-1 a+(2+4a)+8a＜0

  ①或

a＜0 [-(2+4a)]2-4a•9a＜0

  ②，
解①得：a＜-

1

3

，解②得：a＜-

1

5

．
∴当x≤-1时，不等式f（x）+5a＜0恒成立的实数a的取值范围是(-∞，-

1

5

)；
（2）f（x）=ax²-（2+4a）x+3a，
当a＜0时，对称轴为x=2+

1

a

＜2，
若2+

1

a

≤0，即-

1

2

≤a＜0，则

3a=- 3 2 4a-2(2+4a)+3a=-6

，a不存在；
若0＜2+

1

a

≤1，即-1≤a＜-

1

2

，则

12a2-(2+4a)2 4a =- 3 2 4a-2(2+4a)+3a=-6

，a不存在；
若1＜2+

1

a

＜2，即a＜-1，则

3a=-6 12a2-(2+4a)2 4a =- 3 2

，解得a=-2．
综上，实数a的值为-2．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了二次函数最值的求法，体现了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中高档题．