Question

20．如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=1，在边AB、AC上分别取D、E两点，沿线段DE折叠，顶点A恰好落在边BC上，则AD长度的最小值为$\sqrt{2}$-1．．

Answer 1

分析 如图，连接AA′，设∠BDA′=θ∈$（0，\frac{3π}{4}）$．可设AD=DP=x，AB=1，则BD=1-x．在△BDA′中，由正弦定理有：$\frac{BD}{sin∠B{A}^{′}D}$=$\frac{1-x}{sin（\frac{3π}{4}-θ）}$=$\frac{x}{sinB}$=$\sqrt{2}$x．可得：x=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-θ）+1}$．即可得出．

解答 解：如图，连接AA′，设∠BDA′=θ∈$（0，\frac{3π}{4}）$．
由AD=DA′，
可设AD=DP=x，AB=1，则BD=1-x
在△BDA′中，由正弦定理有：$\frac{BD}{sin∠B{A}^{′}D}$=$\frac{1-x}{sin（\frac{3π}{4}-θ）}$=
$\frac{x}{sinB}$=$\frac{x}{sin\frac{π}{4}}$=$\sqrt{2}$x．
可得：x=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-θ）+1}$．
∴当θ=$\frac{π}{4}$时，x取得最小值，x=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了正弦定理、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．