Question

10．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}$=1和C₂：x²+$\frac{y^2}{9}$=1．P为C₁上的动点，Q为C₂上的动点，w是$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C₁上，Q在C₂上，且$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=w}，则Ω中元素个数为（　　）

• A． 2个
• B． 4个
• C． 8个
• D． 无穷个

Answer 1

分析 设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．

解答 解：椭圆C₁：$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}$=1和C₂：x²+$\frac{y^2}{9}$=1．P为C₁上的动点，Q为C₂上的动点，
可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，
则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α-β），
当α-β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，
则Ω={（P，Q）|P在C₁上，Q在C₂上，且$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=w}中的元素有无穷多对．
另解：令P（m，n），Q（u，v），则m²+9n²=36，9u²+v²=9，
由柯西不等式（m²+9n²）（9u²+v²）=324≥（3mu+3nv）²，
当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，
显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．