Question

11．设函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+2a{x^2}-3{a^2}x+\frac{1}{3}a$（0＜a＜1）
（1）若函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[a，2]时，恒有f（x）≤0成立，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，得到关于f（x）的单调区间，求出f（x）在[a，2]的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f'（x）=-x²+4ax-3a²．令f'（x）=-x²+4ax-3a²=0，得x=a或x=3a，
令f′（x）＞0，解得：a＜x＜3a，令f′（x）＜0，解得：x＞3a或x＜a，
故f（x）在（-∞，a）递减，在（a，3a）递增，在（3a，+∞）递减；
（2）由（1）得：f（x）在（a，3a）递增，在（3a，+∞）递减；
3a≤2即0＜a＜$\frac{2}{3}$时，f（x）在[a，3a）递增，在（3a，2]递减，
f（x）_^max=f（3a）=$\frac{1}{3}$a≤0，不合题意；
3a≥2即$\frac{2}{3}$≤a＜1时，f（x）在[a，2]递增，
f（x）_max=f（2）=-6a²+$\frac{25}{3}$a-$\frac{8}{3}$≤0，
解得：a≥$\frac{8}{9}$，
综上：a∈[$\frac{8}{9}$，1）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．