Question

6．已知命题p：关于x的方程x²-ax+1=0有实根；命题q：对任意x∈[-1，1]，不等式a²-3a-x+1≤0恒成立，若“p∧q”是假命题，“?q”也是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 结合三个二次关系分别求得命题p，q为真命题时的a的取值范围，由“p∧q”是假命题，“?q”也是假命题确定p，q的真假，从而得到a的不等式，确定其取值范围．

解答 解：若p真，则△=a²-4×1≥0，∴a≤-2或a≥2．
若q真，则由对任意 x∈[-1，1]，不等式 x-1≥a²-3a恒成立，
∴（ x-1）_min≥a²-3a  即a²-3a≤-2 解得1≤a≤2，即q为真命题时，a 的取值范围是[1，2]．
∵“p∧q”是假命题，“?q”也是假命题，则p是假命题，q是真命题∴$\left\{\begin{array}{l}-2＜a＜2\\ 1≤a≤2\end{array}\right.$，
∴1≤a＜2，∴实数a的取值范围为[1，2）．

点评 本题考查了复合命题的真假判断，考查了一元二次不等式的解法，是中档题．