Question

1．如图，椭圆W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其左顶点A在圆O：x²+y²=16上．
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．
（i）当|AP|=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$时，求直线AP的斜率；
（ii）是否存在直线AP，使得$\frac{|AQ|}{|AP|}$=4？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a=4，利用椭圆的离心率公式求得c，b²=a²-c²=4，即可求得椭圆W的方程；
（Ⅱ）（i）将直线y=k（x+4），代入椭圆方程，由韦达定理，求得P点坐标，由|AP|=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，即可求得k的值；
（ii）丨AQ丨=2$\sqrt{16-{d}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{16}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{8}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，则$\frac{丨AQ丨}{丨AP丨}$=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=4，显然k不存在．

解答 解：（Ⅰ）因为椭圆W的左顶点A在圆x²+y²=16上上，则a=4，由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则c=2$\sqrt{3}$，
则b²=a²-c²=4，
∴椭圆W的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）（i）设点P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q），显然直线AP存在斜率，
设直线AP的方程为y=k（x+4），与椭圆方程联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（1+4k²）x²+32k²x+64k²-16=0，
由-4x_P=$\frac{64{k}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$，可得x_P=$\frac{4-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，|AP|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x_P-（-4）丨，
∴|AP|=$\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
由|AP|=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，解得k=±1，
∴直线AP的斜率为1或-1；
（ii）圆心到直线AP的距离为d=$\frac{丨4k丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
丨AQ丨=2$\sqrt{16-{d}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{16}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{8}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴$\frac{丨AQ丨}{丨AP丨}$=$\frac{\frac{8}{\sqrt{1+{k}^{2}}}}{\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=4，
显然3≠0，
故不存在直线AP，使得$\frac{|AQ|}{|AP|}$=4．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查计算能力，属于中档题．