Question

20．袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有一个黑球的概率为$\frac{7}{9}$．
（1）求白球的个数；
（2）现从中不放回地取球，每次取1个球，取2次，已知第二次取得白球，求第一次取得黑球的概率．

Answer 1

分析 （1）设袋中白球的个数为x，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出白球个数．
（2）利用互斥事件的概率公式求得第二次取得白球的概率，
再利用条件概率公式，求出第二次取得白球的条件下，第一次取得黑球的概率．

解答 解：（1）设袋中白球的个数为x，
∵从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是$\frac{7}{9}$，
∴1-$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，
又x∈N，解得x=5，
∴白球有5个；
（2）设A“第1次取到黑球”，B“第2次取到白球”，
则AB是“第1次取到黑球且第2次取到白球”，
∴P（B）=$\frac{5}{10}$×$\frac{5}{9}$+$\frac{5}{10}$×$\frac{4}{9}$=$\frac{1}{2}$；
由条件概率公式知：
P（A/B）=$\frac{P（AB）}{P（B）}$=$\frac{\frac{5}{10}×\frac{5}{9}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{5}{9}$，
即第二次取到白球时，第一次取到黑球的概率是$\frac{5}{9}$．

点评 本题考查了对立事件的概率以及互斥事件与条件概率的计算问题，是基础题．