Question

17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+$\frac{5}{2}$）=-$\frac{1}{f（x）}$，当x∈[-$\frac{5}{2}$，0]时，f（x）=x（x+$\frac{5}{2}$），则f（2016）=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 先求出f（x+5）=-$\frac{1}{f（x+\frac{5}{2}）}$=f（x），从而f（2016）=f（1）=-f（-1），由此能求出结果．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+$\frac{5}{2}$）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+5）=-$\frac{1}{f（x+\frac{5}{2}）}$=f（x），即函数的周期是5，
∵x∈[-$\frac{5}{2}$，0]时，f（x）=x（x+$\frac{5}{2}$），
∴f（2016）=f（1）=-f（-1）=-[-1×（-1+$\frac{5}{2}$）]=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，则基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．