Question

7．已知f（x）=x+g（x），其中g（x）是定义在R上，最小正周期为2的函数．若f（x）在区间[2，4）上的最大值为1，则f（x）在区间[10，12）上的最大值为9．

Answer 1

分析 由f（x）=x+g（x）得g（x）=f（x）-x，因为g（x）周期为2，所以g（x）=g（x-8）．即f（x）-x=f（x-8）-x+8．即f（x）=f（x-8）+8．于是f（x）在[10，12）上的最大值等于f（x）在区间[2，4）上的最大值加8．

解答 解：∵f（x）=x+g（x），∴g（x）=f（x）-x，
∵g（x）是定义在R上，最小正周期为2的函数，
∴g（x）=g（x-8）．
即f（x）-x=f（x-8）-x+8．∴f（x）=f（x-8）+8．
令x∈[10，12），则x-8∈[2，4），
∴f_max（x）=f_max（x-8）+8=1+9=9．
故答案为9．

点评 本题考查了函数周期的性质，用f（x）表示出g（x）是解题关键．