Question

6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），其图象相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，且函数f（x+$\frac{π}{12}$）是偶函数，下列判断正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的最小正周期为2π
• B． 函数f（x）的图象关于点（$\frac{7π}{12}$，0）d对称
• C． 函数f（x）的图象关于直线x=-$\frac{7π}{12}$对称
• D． 函数f（x）在[$\frac{3π}{4}$，π]上单调递增

Answer 1

分析 由题意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函数f（x+$\frac{π}{12}$）是偶函数，可得$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ，可得解析式f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的图象和性质即可判断求解．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{2}$，
∴函数f（x）的周期T=π，故A错误；
∵ω＞0
∴ω=2，
∴函数f（x+$\frac{π}{12}$）的解析式为：f（x）=sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+φ]=sin（2x+$\frac{π}{6}$+φ），
∵函数f（x+$\frac{π}{12}$）是偶函数，
∴$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得：φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∴由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，解得对称中心为：（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z，故B错误；
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得对称轴是：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，k∈Z，故C错误；
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ$-\frac{5π}{12}$，kπ$+\frac{π}{12}$]，k∈Z，故D正确．
故选：D．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合的方法，属于中档题．