Question

9．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（0，1），（$\sqrt{2}$，0），（0，-2），O为坐标原点，动点P满足|$\overrightarrow{CP}$|=1，则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OP}$|的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{11}$-1
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\sqrt{11}$+1

Answer 1

分析 设点P（x，y），则动点P满足|$\overrightarrow{CP}$|=1可得 x²+（y+2）²=1．根据|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+（y+1）^{2}}$，表示点P（x y）与点Q（-$\sqrt{2}$，-1）之间的距离．显然点Q在圆C x²+（y+2）²=1的外部，求得QC=$\sqrt{3}$，问题得以解决．

解答 解：设点P（x，y），则动点P满足|$\overrightarrow{CP}$|=1可得 x²+（y+2）²=1．
根据$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OP}$的坐标为（$\sqrt{2}$+x，y+1），可得|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+（y+1）^{2}}$，表示点P（x y）与点Q（-$\sqrt{2}$，-1）之间的距离．
显然点Q在圆C x²+（y+2）²=1的外部，求得QC=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OP}$|的最小值为QC-1=$\sqrt{3}$-1，
故选：A．

点评 本题主要考查两点间的距离公式，两个向量坐标形式的运算，求向量的模，属于基础题．