Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知点P在曲线Γ：y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$（x≥0）上，曲线Γ与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，点D（2，1）和点E（1，0）满足$\overrightarrow{OD}$=λ$\overrightarrow{CE}$+μ$\overrightarrow{OP}$（λ，μ∈R），则λ+μ的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设P（2cosα，sinα），求出各点坐标，用α表示出λ，μ，得出λ+μ关于α的函数，利用导数求出此函数的最小值即可．

解答 解：由y=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$（x≥0）可知$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
∴B（2，0），C（0，1），
设P（2cosα，sinα），α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
则$\overrightarrow{CE}$=（1，-1），$\overrightarrow{OP}$=（2cosα，sinα），$\overrightarrow{OD}$=（2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+2μcosα=2}\\{-λ+μsinα=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{2sinα-2cosα}{2cosα+sinα}}\\{μ=\frac{3}{2cosα+sinα}}\end{array}\right.$，
∴λ+μ═$\frac{2sinα-2cosα+3}{2cosα+sinα}$，
令f（α）=$\frac{2sinα-2cosα+3}{2cosα+sinα}$，则f′（α）=$\frac{6-3cosα+6sinα}{（2cosα+sinα）^{2}}$＞0，
∴f（α）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，
∴当α=0时，f（α）取得最小值f（0）=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，函数最值的计算，属于中档题．