Question

已知数列{a_n}（n∈N^*），其前n项和为S_n，给出下列四个命题：
①若{a_n}是等差数列，则三点（10，

S10

10

）、（100，

S100

100

）、（110，

S110

110

）共线；
②若{a_n}是等差数列，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，则S₁、S₂、…、S_n这n个数中必然存在一个最大者；
③若{a_n}是等比数列，则S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）也是等比数列；
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常数a₁q≠0），则{a_n}是等比数列；
⑤若等比数列{a_n}的公比是q（q是常数），且a₁=1，则数列{a_n²}的前n项和S_n=

1-q2n

1-q2

．
其中正确命题的序号是①④．（将你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：等差数列与等比数列

分析：利用等差数列与等比数列的通项公式、性质及其前n项和公式即可判断出．

解答： 解：①若{a_n}是等差数列，可设Sn=An2+Bn，∴

Sn n - Sm m

n-m

=

A(n-m)

n-m

=A，因此三点（10，

S10

10

）、（100，

S100

100

）、（110，

S110

110

）共线，正确；
②若{a_n}是等差数列，设公差为d，∵a₁=-11，a₃+a₇=-6，∴2a₁+8d=-6，即-22+8d=-6，解得d=2．∴a_n=-22+（n-1）2=2n-24，为单调递增数列，
因此S₁、S₂、…、S_n这n个数中不存在一个最大者，因此不正确；
③若{a_n}是等比数列，当公比q=-1，且m为偶数时，则S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）不是等比数列，该命题错误；
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常数a₁q≠0），则当n≥2时，a_n+1=S_n+1-S_n=a₁+qS_n-（a₁+qS_n-1）=qa_n，当n=1时，S₂=a₁+a₂=a₁+qS₁，可得a₂=a₁q．
综上可得：a_n+1=qa_n对n∈N^*都成立，因此{a_n}是等比数列，正确；
⑤若等比数列{a_n}的公比是q（q是常数），且a₁=1，则当q≠±1时，数列{a_n²}的前n项和S_n=

1-q2n

1-q2

，因此⑤不正确．
综上可得：只有①④正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、性质及其前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．