Question

过A（-2，0）作椭圆

x2

4

+y²=1的两弦AB，AC，且k_AB•k_AC=1，则直线BC恒过定点

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设BC：x=m+ty，代入x²+4y²-4=0，得：（t²+4）y²+2mty+m²-4=0，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由韦达定理结合已知条件求出BC的方程为x=-

10

3

+ty，所以直线BC恒过定点（-

10

3

，0）．

解答： 解：设BC：x=m+ty，代入x²+4y²-4=0，
并整理得：（t²+4）y²+2mty+m²-4=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则

y1+y2=- 2mt t2+4 y1y2= m2-4 t2+4

，
k_AB•k_AC=

y1

x1+2

•

y1

x2+2

=1，
y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）
=（ty₁+m+2）（ty₂+m+2）
=t2y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2，
解得m=-

10

3

或m=-2（舍）．
∴BC的方程为x=-

10

3

+ty，
∴直线BC恒过定点（-

10

3

，0）．
故答案为：（-

10

3

，0）．

点评：本题考查直线恒过定点的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．