Question

设函数f（x）=lnx-ax，
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，e]内的最大值；
（Ⅱ）当a=-1时，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）对a分类讨论，利用导数的运算法则研究函数的单调性即可得出；
（2）方程2mf（x）=x²有唯一实数解，即x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x²-2mlnx-2mx，利用导数可得其最小值为g（x₂）．
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即2lnx₂+x₂-1=0．设h（x）=2lnx+x-1（x＞0），再利用导数研究其单调性即可得出．④

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，  x＞0．
令f'（x）=0得x=

1

a

．
∵x∈(0，

1

a

)时，f'（x）＞0，x∈(

1

a

，+∞)时，f'（x）＜0，
∴f（x）在(0，

1

a

)递增，在(

1

a

，+∞)递减．
①当0＜

1

a

≤1即a≥1时，f（x）在[1，e]上递减，
∴x=1时f（x）取最大值f（1）=-a．
②当1＜

1

a

＜e即

1

e

＜a＜1时，f（x）在(1，

1

a

)递增，在(

1

a

，e)递减，
∴x=

1

a

时，f（x）取最大值f(

1

a

)=-lna-1．
③当

1

a

≥e即0＜a≤

1

e

时，f（x）在（1，e）递增，
∴x=e时f（x）取最大值f（e）=1-ae．
（2）∵方程2mf（x）=x²有唯一实数解，即x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，则g′(x)=

2x2-2mx-2m

x

．
令g'（x）=0，x²-mx-m=0．
∵m＞0，x＞0，
∴x1=

m- m2+4m

2

＜0（舍去），x2=

m+ m2+4m

2

．
当x∈（0，x₂）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减；当x∈（x₂，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上单调递增．
∴g（x）最小值为g（x₂）．
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x 2 2 -2mlnx2-2mx2=0 x 2 2 -mx2-m=0

∴2mlnx₂+mx₂-m=0即2lnx₂+x₂-1=0．
设h（x）=2lnx+x-1（x＞0），h′(x)=

2

x

+1＞0恒成立，
故h（x）在（0，+∞）单调递增，h（x）=0至多有一解．
又h（1）=0，∴x₂=1，即

m+ m2+4m

2

=1，解得m=

1

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了问题的转化能力，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．