Question

17．在平面直角坐标系xOy中，已知$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，b），b∈R．若$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，点M满足$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OC}$，（λ∈R），且|$\overrightarrow{OC}$|•|$\overrightarrow{OM}$|=36，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$的最大值为18．

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{OC}、\overrightarrow{OM}$的坐标，结合|$\overrightarrow{OC}$|•|$\overrightarrow{OM}$|=36可得λ与b的关系，把$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$化为关于b的函数得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，b），
∴$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（2，b），则$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OC}$=（2λ，bλ），
由|$\overrightarrow{OC}$|•|$\overrightarrow{OM}$|=36，得$\sqrt{4+{b}^{2}}•\sqrt{4{λ}^{2}+{b}^{2}{λ}^{2}}=36$．
∴|λ|（4+b²）=36．
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$=（2λ，bλ）•（1，0）=2λ≤2|λ|=$\frac{72}{4+{b}^{2}}$．
∵b∈R，∴$（\frac{72}{4+{b}^{2}}）_{max}=18$．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$的最大值为18．
故答案为：18．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查函数值域的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．