Question

如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，试用三种方法求A₁C与BC₁所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：解法一：线面垂直方法；
解法二：建立空间直角坐标系，向量法；
解法三：补形法（平移法）．

解答： 解法一：如图所示，连接B₁C，A₁E．
则A₁B₁⊥BC₁，BC₁⊥B₁C，
∵A₁B₁∩B₁C=B₁，
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD，
∴BC₁⊥A₁C，
∴A₁C与BC₁所成角的余弦值=0．
解法二：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨设AB=1．则A₁（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），C₁（0，1，1）．
∴

A1C

=（-1，1，-1），

BC1

=（-1，0，1）．
∴

A1C

•

BC1

=1+0-1=0，
∴A₁C与BC₁所成角的余弦值为0．
解法三：如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁后面再补一个与之全等的正方体．
连接CF，A₁F．
不妨设AB=1，则A₁C=

3

，CF=

2

，
A₁F=

5

．
∴A1C2+CF2=A1F2．
∴A₁C⊥CF．
∴A₁C⊥BC₁．
∴A₁C与BC₁所成角的余弦值为0．

点评：本题考查了利用多种方法求异面直线所成的角、正方体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．