Question

已知函数f（x）=-x²+ax+2．
（1）若x∈[-5，5]时，函数f（x）是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）记函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对称性得出

a

2

≥5或

a

2

≤-5，
（2）分类讨论得出当a≥10，即

a

2

≥5，在[-5，5]上单调递增，a≤-10，即

a

2

≤-5，在[-5，5]上单调递减当-10＜a＜10函数数f（x）的最大值为g（a）=f（

a

2

）=2+

a2

4

，

解答： 解：f（x）=-x²+ax+2．对称轴x=

a

2

，
（1）∵若x∈[-5，5]时，函数f（x）是单调函数，
∴

a

2

≥5或

a

2

≤-5，
即a≥10或a≤-10，
（2）当a≥10，即

a

2

≥5
在[-5，5]上单调递增，函数f（x）的最大值为g（a）=f（5）=5a-23，
当a≤-10，即

a

2

≤-5，
在[-5，5]上单调递减，函数f（x）的最大值为g（a）=f（-5）=-5a-23，
当-10＜a＜10函数数f（x）的最大值为g（a）=f（

a

2

）=2+

a2

4

，
∴g（a）=当

5a-23，a≥10 -5a-23，a≤-10 2+ a2 4 ，-10＜a＜10

点评：本题考查了二次函数的性质，对称轴，单调性，最值问题，分类讨论，属于中档题．