题目内容
在△ABC中，设
与
的夹角为θ，已知
•
=6，且2
≤|
||
|sin（π-θ）≤6．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）=
的最大值．
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
| 3 |
| AB |
| BC |
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）=
1-
| ||||
| sinθ |
考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,三角函数的最值
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（1）首先根据向量的数量积与已知条件求出向量的夹角范围．
（2）进一步对三角函数的关系式进行恒等变形，利用夹角的范围求出三角函数关系式的最值．
（2）进一步对三角函数的关系式进行恒等变形，利用夹角的范围求出三角函数关系式的最值．
解答：
解：（1）∵
•
=|
||
|cosθ=6，①
2
≤|
||
|sinθ≤6，②
由
得，
≤tanθ≤1，
∵θ为
与
的夹角，
∴θ∈[
，
]；
（2）f(θ)=
=
=2(sinθ-cosθ)=2
sin(θ-
)，
由于f(θ)=2
sin(θ-
)在θ∈[
，
]内是增函数，
∴f（θ）max=0（当且仅当θ=
时等号成立）．
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
2
| 3 |
| AB |
| BC |
由
| ② |
| ① |
| ||
| 3 |
∵θ为
| AB |
| BC |
∴θ∈[
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
（2）f(θ)=
| 1-(cos2θ+sin2θ) |
| sinθ |
=
| 2sin2θ-2sinθcosθ |
| sinθ |
=2(sinθ-cosθ)=2
| 2 |
| π |
| 4 |
由于f(θ)=2
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
∴f（θ）max=0（当且仅当θ=
| π |
| 4 |
点评：本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最值问题，属于基础题型．
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| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|