Question

12．以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系，x轴指向东，y轴指向北，一个单位长度表示实际路程100m，一人步行从广场入口处A（2，0）出发，始终沿一个方向匀速前进，6min时路过少年宫C，10min到达科技馆B（-3，5）．
（1）求此人的位移（说明此人行走的距离和方向）及此人行走的速度（用坐标表示）；
（2）求少年宫C点相对于广场中心所在的位置．
（参考数据：tan18°26′=$\frac{1}{3}$，tan18°24′=0.3327）

Answer 1

分析 （1）首先由题意画出示意图，求出图上距离AB；
（2）然后解三角形AOC，利用余弦定理求出OC长度，在三角形COD中求∠COD的正切即可．

解答 解：（1）由题意如图，|AB|=$\sqrt{（2+3）^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{2}$，
所以此人行走了500$\sqrt{2}$m，在出发点的西偏北45°方向，速度是50$\sqrt{2}$m/min；
（2）由（1）可得AC的实际距离为300$\sqrt{2}$m，图上距离为3$\sqrt{2}$，
在三角形OAC中，OC²=OA²+AC²-2OA•AC•cos45°=4+18-2×2×3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=10，所以OC=$\sqrt{10}$；
由AC：AB=CD：BE=3：5，得到CD=3，所以tan∠AOC=-$\frac{CD}{OD}$=-3，所以∠COD=90°-18°26'=71°34'；
所以少年宫C点相对于广场中心西偏北71°34'，距离O为100$\sqrt{10}$m．

点评 本题考查了解三角形在实际中的应用；正确画出示意图，利用余弦定理解三角形，求出OC长度是关键．