Question

曲线C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R）．
（1）若曲线C表示双曲线，求m的范围；
（2）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的范围；
（3）设m=4，曲线C与y轴交点为A，B（A在B上方），y=kx+4与曲线C交于不同两点M，N，y=1与BM交于G，求证：A，G，N三点共线．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）若曲线C表示双曲线，则：（5-m）（m-2）＜0，解得m的范围；   
（2）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则m-2＞5-m＞0，解得m的取值范围；
（3）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，△=32（2k²-3），解得：k²＞

3

2

，设N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），MB方程为：y=

kxM+6

xM

x-2，则G（

3xM

kxM+6

，1），从而可得

AG

=（

3xM

kxM+6

，-1），

AN

=（x_N，kx_N+2），欲证A，G，N三点共线，只需证

AG

，

AN

共线，利用韦达定理，可以证明．

解答： 解：（1）若曲线C表示双曲线，
则：（5-m）（m-2）＜0，
解得：m∈（-∞，2）∪（5，+∞）；                              
（2）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，
则：m-2＞5-m＞0．
解得：m∈（

7

2

，5）…（8分）
证明：（3）当m=4，曲线C可化为：x²+2y²=8，
当x=0时，y=±2，
故A点坐标为：（0，2），B（0，-2）
将直线y=kx+4代入椭圆方程x²+2y²=8得：（2k²+1）x²++16kx+24=0，
若y=kx+4与曲线C交于不同两点M，N，
则△=32（2k²-3）＞0，解得：k²＞

3

2

，…（10分）
由韦达定理得：x_m+x_n=-

16k

2k2+1

  ①，
x_m•x_n=

24

2k2+1

    ②…（12分）
设N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），
MB方程为：y=

kxM+6

xM

x-2，则G（

3xM

kxM+6

，1），…（14分）
∴

AG

=（

3xM

kxM+6

，-1），

AN

=（x_N，kx_N+2），
欲证A，G，N三点共线，只需证

AG

，

AN

共线，
即

3xM

kxM+6

（kx_N+2）=-x_N，
将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．

点评：本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．